수학 (6) 썸네일형 리스트형 여섯 번째 논문 포스팅이 좀 늦긴 했는데, 최근에 여섯 번째 논문을 마무리지어서 arXiv에 올려두었다. https://arxiv.org/abs/2107.09018 Minimal asymptotic translation lengths on curve complexes and homology of mapping tori We consider pseudo-Anosov mapping classes on a closed orientable surface of genus $g$ that fix a rank $k$ subgroup of the first homology of the surface. We first show that there exists a uniform constant $C>0$ so that the minima.. 오랜만에 칠판 앞 디스커션 오늘 오랜만에 칠판에 그림을 그려가며 연구 디스커션을 했다. 작년 봄 코로나가 시작되면서 대부분의 미팅은 zoom으로 진행되었다. 점차 대면 미팅이 늘어나기는 했지만 예전만큼은 아니었고, 더욱이 미국 위스콘신 대학 교수님과도 함께 진행하는 프로젝트가 있었기에 zoom으로 미팅을 하는 것은 꽤 큰 비중을 차지하고 있었다. 요즘도 미국에 계신 교수님과 KAIST에서 지도해주시던 교수님과 프로젝트를 진행하고 있어서 대부분의 미팅은 zoom으로 진행하고 있었다. 그런데 최근에는 칠판에 복잡한 그림을 그리고 함께 보면서 생각해보면 좋을 것 같은 것이 있어, KAIST에 계신 교수님과 오랜만에 대면 미팅을 가졌다. 물론 아직 마스크도 다 쓰고 해야 하지만, 그래도 함께 칠판 앞에서 생각을 꾸준히 나누고 교류하니 너.. KAIST 수리과학과 소식지 출판 지난 포스팅 (https://dongryul.tistory.com/26) 에서 이야기했던 원고가 KAIST 수리과학과 소식지로 출판되었다. 수기 1면 (소식지 4면) 수기 2면 (소식지 2면) 첫 논문이 게재 승인되었다. 학부시절 썼던 첫 논문이 https://arxiv.org/pdf/2006.10420.pdf 드디어 저널로부터 게재 승인을 받았다. International Mathematics Research Notices, IMRN이라고 불리는 저널이다. 학부 3학년 여름쯤 시작해서 학부 4학년 여름에 논문을 완성한 연구인데, 곡면의 mapping class group 위에서의 random walk가 나타내는 동역학적 성질에 대한 연구이다. 간단히 말해서, 곡면이 가질 수 있는 어떤 변형을 무작위적으로 계속해서 뽑아서, 뽑힌 변형들을 계속 합성해나갈 때 곡면은 어떤 방식으로 뒤틀리겠는가 같은 질문에 대한 결과이다. 연구는 우선 곡면의 변형들 중 어떤 곡선들을 따라서 뒤트는 변형들로 얻어지는 것들을 다루었는데, 우선 메.. Minsky's talks on Curve complex and Teichmüller geometry 연구하는 영역에서 기본적인 부분들을 좀 되뇌어보자는 생각으로 유튜브에서 몇몇 세미나 영상들을 찾아보았다. 그러던 중 Curve complex와 Teichmüller geometry에 대한 Minsky 교수님의 톡 영상들이 있어서 며칠에 걸쳐 주욱 보았다. 핵심적인 내용들을 흥미로운 스토리 라인으로 잘 말씀하시는 것 같아 여기에 남겨본다. 아래는 Curve complex에 대한 영상들이다. Minsky 교수님은 Masur-Minsky라고 불리는, Curve complex의 기하구조를 규명하는 두 편의 논문으로 아주 유명하다. Part 1: youtu.be/aAxWC7g3XC4 Part 2: youtu.be/WpaRzSsF6QI 아래는 Teichmüller geometry에 대한 4개의 영상들이다. Teic.. 2차원으로 바라본 3차원 우리는 3차원 공간에 살고 있다. 덕분에 애석하게도 3차원 공간(엄밀하게는, 3-manifold)의 전체적인 모습을 바라볼 수는 없다. 물론 Thurston 선생님은 가능했을 것 같지만... 반면 2차원 공간, 즉 곡면의 전체적인 형태를 바라보는 것은 가능하고, closed orientable surfaces의 위상 구조에 대해서는 이미 이해하고 있다. 이러한 맥락에서, 자연스레 우리는 곡면을 통해 특정 3차원 공간을 이해보려고 시도할 수 있다. 예를 들어, 원 $S^1$을 살짝 부풀려서 원기둥 $S^1 \times [0, 1]$을 만들고, 원 사이의 homeomorphism $f : S^1 \to S^1$을 이용하여 원기둥의 양 끝을 비틀어 붙일 수 있다. 즉, $S^1 \times [0, 1] / (.. 이전 1 다음
